Confronté au délicat problème du jeune prof devant fabriquer un nouvel exercice pour d'encore plus jeunes étudiants en première année de DEUG, j'ai opté pour l'étude simplifiée du mouvement d'un skieur qui s'envoie en l'air sur un big air. Contrairement à mes attentes, ce superbe sujet (déjà proposé à 2 promotion de l'Université Paul Sabatier à Toulouse) n'a pas déchainé les passions ... peut être que mes classes manquaient de skipasseurs !!!

Voilà la bête !

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Big air

Nous allons étudier le mouvement d?un skieur dans un référentiel R muni du repère orthonormé direct R (O, ex, ey, ez), lors du franchissement d?une bosse (big air) (figure 1).

La trajectoire du skieur lors du saut peut se décomposer en 2 parties distinctes :

- la piste d?élan, modélisée par un arc de cercle de centre C(0,0,Rc), de rayon Rc, dans la plan vertical (O, ey, ez), suivi d?un tremplin OK de pente constante repérée par l?angle alpha = (ey, OK), permettant de franchir la bosse de sommet K(0,yk,zk). On suppose qu?il n?y a pas de choc dû au changement de pente en O.
- le saut (ou vol) après le sommet K, jusqu?au point de chute, qui doit se situer au delà d?une zone appelée « table » de longueur Lt (voir figure1).

Le skieur, assimilé à un point matériel M, de masse m, subit, lors de la première partie du mouvement (prise d?élan), outre son poids P = - m g , une force de frottement, Fs , due au contact entre les skis et la neige de type « solide » : Fs = - f.et où et est le vecteur unitaire tangent en M à la trajectoire du skieur. Sur la deuxième partie (vol), les frottements qui s?exercent sur le skieur seront négligés

Afin de simplifier les calculs, on suppose que l?énergie potentielle de pesanteur est nulle en O.


-I- Prise d?élan

Le skieur s?élance sans vitesse initiale du point D (0,yd,zd) tel que ?Rc < yd < 0.

1) Calculer l?énergie potentielle de pesanteur.
2) Après avoir remarqué que la force Fs n?admet pas d?énergie potentielle, déterminer son travail entre D et K, en fonction des coordonnées de ces 2 points, du rayon Rc, de la norme f et de l?angle alpha.
3) A l?aide du théorème de l?énergie mécanique, déterminer la vitesse du skieur au point K.
4) Evaluer la hauteur zkm, maximale de la bosse que le skieur peut franchir en partant d?un point D donné.
5) Décrire la trajectoire du skieur peureux mais doté de skis permettant la marche arrière s?essayant au franchissement d?une bosse de hauteur supérieure à zkm.

-II- Le saut

6) Exprimer la vitesse vs du skieur au point K dans la base ( ex, ey, ez). On notera Vk sa norme.
7) En utilisant le principe fondamental de la dynamique, déterminer l?équation de la trajectoire aérienne du skieur.
8) Calculer alors l?altitude maximale atteinte par le skieur et la distance parcourue selon l?axe (O, ey) avant de retomber à l?altitude z = 0.

-III- Application numérique

Les caractéristiques de la zone de saut et du skieur sont :
Rc = 50 m, zd = 7 m, zk = 2.5 m, alpha = Pi/6 , f = 10 N, m = 80 kg et g = 10 m.s-2.

Calculer la vitesse du skieur au décollage, l?altitude maximale atteinte durant le saut et la longueur Lt de la plus longue « table » que le skieur pourra franchir dans ces conditions.

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Ps : cet éditeur de texte skipass manque cruellement de fonction scientifiques ... il faut bien évidement faire l'effort de mettre des vecteurs lorsque cela s'impose ! (+)

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